1 引言

　　絮凝是混凝水處理過程中的重要階段之一.絮凝過程中，絮體粒徑分布及形態(tài)學(xué)特征時(shí)刻變化，其群體形貌動(dòng)態(tài)變化過程復(fù)雜.近年來，許多學(xué)者采用分形數(shù)學(xué)理論來描述絮體在不同工況條件下的顆粒幾何特征，以期通過定量描述絮體形貌的復(fù)雜性，揭示絮體形成及其與工藝效能的內(nèi)在關(guān)系.

　　眾所周知，凝聚是一個(gè)顆粒隨機(jī)碰撞的過程，具有非線性特征.分形維數(shù)常用來描述具有自相似結(jié)構(gòu)的不規(guī)則幾何體的非線性工作機(jī)理.在絮凝過程中，絮體顆粒形態(tài)和粒徑分布時(shí)刻變化，而簡單分形維數(shù)主要用于描述和表征顆粒群體的整體性和平均性，不能完全揭示絮體分形變化的動(dòng)力學(xué)過程(張德祥等，2007;Brown et al., 1992).多重分形描述不同局部條件或不同層次所導(dǎo)致的特殊結(jié)構(gòu)行為與特征，從系統(tǒng)的局部出發(fā)來研究整體的特征，并借助統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的方法討論特征參量概率測度的分布規(guī)律.目前多重分形理論已廣泛應(yīng)用于土壤環(huán)境(Grout et al., 1998;Li et al., 2011)、材料(Pérez et al., 2012)、地球科學(xué)(García-Marín et al., 2008)、醫(yī)學(xué)(Song et al., 2013;Vasiljevic et al., 2012)、城市規(guī)劃(Ariza-Villaverde et al., 2013)等諸多領(lǐng)域，在國內(nèi)外水處理領(lǐng)域中未見相關(guān)研究內(nèi)容.實(shí)際檢測操作中對(duì)特定絮體的生長過程監(jiān)測存在困難，但絮體的群體生長在一定范圍內(nèi)存在統(tǒng)計(jì)學(xué)自相似特征和標(biāo)度不變性，可以用多重分形理論研究并定量描述絮體的生長規(guī)律.

　　絮體形態(tài)和分布特征的定量化對(duì)絮凝機(jī)理的完善和工藝控制均有重要的理論價(jià)值.本研究在前人基礎(chǔ)上采用多重分形理論定量描述絮體群在生長過程中的分布特征，探討絮體在生長過程中的多重分形行為.

　　2 分形及多重分形理論

　　1977年，M and elbrot將分形集的概念引入并對(duì)分形的定義進(jìn)行了闡述.分形維數(shù)區(qū)別于歐式幾何中對(duì)象的拓?fù)渚S數(shù)，它是描述非線性復(fù)雜系統(tǒng)特征的工具.分形幾何學(xué)廣泛應(yīng)用于圖形圖像的分析處理，對(duì)于不規(guī)則形狀物體的二維數(shù)字圖像，應(yīng)用計(jì)算機(jī)程序可以非常方便的計(jì)算物體的分形維數(shù).計(jì)算分形維數(shù)的方法有很多，有盒計(jì)維數(shù)、相似維數(shù)、容量維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、信息維數(shù)、面積周長維數(shù)等.盒計(jì)維數(shù)是在計(jì)算機(jī)圖形圖像處理中應(yīng)用最廣泛的分形維數(shù)算法之一，其基本的算法原理是以不同測度的盒子來測量目標(biāo)數(shù)目，最后得到一個(gè)形如下式的冪函數(shù)關(guān)系：

　　式中，N為目標(biāo)數(shù)目，ε為盒子大小.兩邊取對(duì)數(shù)后得到：

　　式中，D即為分形維數(shù).

　　多重分形是在簡單分形基礎(chǔ)上發(fā)展的分形理論，自1980年即已成為不規(guī)則物體形態(tài)分析的基本工具(Ficker，2004).多重分形譜由兩種關(guān)系組成，一種是由一系列概率Pi，ε所組成的子集與測度之間的冪函數(shù)關(guān)系：Pi，ε∝εα，α稱為奇異指數(shù)，其反映的是分形圖像中概率集合隨測度的變化關(guān)系，即反映了分形對(duì)象的奇異程度;另一種是一系列測度下的盒子數(shù)N(ε)與測度之間的冪函數(shù)關(guān)系：N(ε)∝εf(α).此處f(α)即為多重分形譜，顯然它表示的是同一α值子集的分形維數(shù).

　　多重分形譜的計(jì)算處理過程，首先需定義配分函數(shù)，此函數(shù)是對(duì)概率的加權(quán)求和，即：

　　式中，加權(quán)系數(shù)q> >1，則配分函數(shù)中大概率子集占主導(dǎo)，q< <-1，則配分函數(shù)中小概率子集占主導(dǎo).通過加權(quán)，可將一種分形拓展為多種奇異程度的分形，從而可將分形集的內(nèi)部結(jié)構(gòu)完整呈現(xiàn)出來(孫霞等，2003).

　　對(duì)于二維圖像的多重分析，概率Pi，ε為盒子中研究目標(biāo)所占的像素?cái)?shù)量與圖像中研究目標(biāo)所占的總像素?cái)?shù)量比：

　　配分函數(shù)與尺度ε存在冪函數(shù)關(guān)系Iq(ε)= ετ(q)，兩邊取對(duì)數(shù)，則可得到

　　此處τ(q)稱為質(zhì)量指數(shù)，其反映的是Iq(ε)與lnε的線性關(guān)系，這種關(guān)系指定分形的無標(biāo)度性.

　　廣義分形維數(shù)Dq隨q值的不同而具有不同的意義，其定義式如下：

　　當(dāng)q=0，此時(shí)I0反應(yīng)二維圖像中對(duì)象的空間幾何性質(zhì)，與概率P無關(guān)，這樣D0就表示普通的豪斯道夫維數(shù)，此時(shí)對(duì)應(yīng)于f(α)max(謝淑云等，2009).

　　根據(jù)τ(q)和q的關(guān)系經(jīng)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的勒讓德變換后得到：

　　由此可得到，α-f(α)的關(guān)系，即多重分形圖譜.根據(jù)多重分形理論，多重分形譜攜帶大量研究對(duì)象的定量信息，f(αmax)、αmax反映的是概率最小子集的性質(zhì);f(αmin)、αmin反映的是概率最大子集的性質(zhì)，f(α)max和其對(duì)應(yīng)的α0反映的是最或然子集的性質(zhì);多重分形譜譜寬Δα=αmax-αmin反映了概率分布范圍的大小，概率分布愈不均勻，相應(yīng)的譜寬會(huì)越大;Δf(α)=f(αmax)- f(αmin)反映的是最大、最小概率單元數(shù)目之間的比例關(guān)系(Ficker，2004).

　　3 試驗(yàn)材料及方法

　　3.1 試驗(yàn)材料

　　原水為人工配制高嶺土渾濁液，濁度(100±3)NTU.混凝劑為聚合硫酸鐵(PFS，投加濃度30 mg · L-1).試驗(yàn)設(shè)備為一套混凝圖像在線監(jiān)測系統(tǒng)，主體反應(yīng)槽是容積為15 L的有機(jī)玻璃制圓形反應(yīng)罐，IKA在線程序可控?cái)嚢杵�，Prosical相機(jī)(相機(jī)設(shè)置像素512×512，像素大小7.4 μm ×7.4 μm，最小快門速度20 μs)實(shí)時(shí)捕捉圖像，理論識(shí)別能力50 μm.

　　裝置示意圖如圖 1所示，整個(gè)反應(yīng)過程在反應(yīng)槽內(nèi)進(jìn)行，少量反應(yīng)懸濁液在蠕動(dòng)泵的工作下以一定流速通過側(cè)向打開的圖像采集通道，圖像采集通道尺寸為3 mm×50 mm×200 mm;打開光源控制器，將相機(jī)對(duì)焦以看清通道內(nèi)絮體，相機(jī)采集流經(jīng)通道的懸浮顆粒圖像并將圖像保存在計(jì)算機(jī)上待軟件分析.

　　3.2 試驗(yàn)方法

　　反應(yīng)槽內(nèi)進(jìn)行混凝劑聚合硫酸鐵處理模擬地表水試驗(yàn)，反應(yīng)共歷時(shí)770 s.將配制好的聚合鐵混凝劑投入水中，在轉(zhuǎn)速200 r · min-1的條件下快速攪拌50 s;然后慢速攪拌720 s，轉(zhuǎn)速75 r · min-1.懸濁液以10 mm · s-1的流速流經(jīng)圖像采集通道，相機(jī)每10 s采集1次圖像并保存于計(jì)算機(jī)中，視窗大小2.19 cm×2.19 cm.

　　圖像處理：該文所采用圖像處理軟件為Image-Pro Plus，相機(jī)采集到的圖像格式為256灰度圖，通過軟件進(jìn)行閾值轉(zhuǎn)換法二值化處理后，計(jì)算圖像上的顆粒數(shù)目、平均粒徑(等效投影面積直徑)，并計(jì)算圖像的多重分形譜.

　　多重分形譜計(jì)算程序的參數(shù)設(shè)置：加權(quán)系數(shù)q取10，盒子大小取8、12、16、32、64、128、256、512.

　　4 結(jié)果及分析(Results and analysis) 4.1 絮體的生長過程

　　混凝劑在快速攪拌條件下迅速分散到水中，此階段混凝劑與水充分混合并水解，使水中懸浮顆粒脫穩(wěn)，進(jìn)入慢速攪拌階段，脫穩(wěn)顆粒開始凝聚，即絮體開始生長.

　　如圖 2所示，反應(yīng)體系經(jīng)過快速攪拌段進(jìn)入慢速攪拌段后，絮體顆粒數(shù)目迅速下降，由最初視野范圍內(nèi)的8000左右降至700左右，顆粒團(tuán)聚現(xiàn)象明顯;同時(shí)絮體顆粒的平均粒徑大小迅速上升，由平均粒徑0.09 mm左右迅速升至0.23 mm左右.從時(shí) 間分布上看，絮體生長階段在整個(gè)反應(yīng)過程中所占比例不大，絮體生長速度快.

　　圖 3顯示的是絮體在生長過程中幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)分布情況.從圖中可以看出，進(jìn)入絮凝階段后，小粒徑顆粒迅速降低，大顆粒數(shù)目則明顯增多，分布圖形由高峰逐漸向低峰發(fā)展;同時(shí)，由于顆粒之間的團(tuán)聚，顆粒粒徑范圍逐漸增大，即峰寬逐漸變大.在此需要說明的是，受到相機(jī)分辨率以及鏡頭分辨率等因素影響，小顆粒在圖片中的識(shí)別能力有限.

　　4.2 絮體生長的多重分形特征

　　圖 4是相應(yīng)的各取樣時(shí)間點(diǎn)絮體生長的多重分形譜變化情況.從此圖可以很直觀的看出多重分形譜在整個(gè)絮體生長段的變化，f(α)max逐漸降低，譜寬逐漸變大，絮體的多重分形譜從左勾狀曲線逐漸變化為右鉤狀曲線.

　　圖 5的部分?jǐn)?shù)據(jù)顯示出了多重分形譜中f(αmax)、αmax、f(αmin)、αmin、Δf(α)、Δα等特征參數(shù)隨絮體生長的變化，表 1顯示的是絮體群生長過程中部分采集點(diǎn)照片的多重分形譜參數(shù)數(shù)據(jù).可以看出，f(αmax)在50~130 s范圍內(nèi)上升明顯，由0.4469上升為1.2097，140 s后表現(xiàn)穩(wěn)定;f(αmin)在絮體生長前段由0.8768下降到0.2568，后端亦是在一定幅度內(nèi)波動(dòng).這說明小概率對(duì)象即大粒徑絮體的數(shù)量在增加，大概率對(duì)象即小粒徑絮體的數(shù)量在減小.由Δf(α)= f(αmax)-f(αmin)的變化可知，Δf(α)由最初的-0.4299迅速增大到0.8679，隨后始終維持在一個(gè)較高水平.在70 s之前，Δf(α)<0，此時(shí)在整個(gè)體系中以小粒徑顆粒在顆粒分布占據(jù)主導(dǎo)地位;此后Δf(α)轉(zhuǎn)而大于0，并持續(xù)上升，說明大粒徑顆粒所表示的小概率顆粒在顆粒分布中逐漸搶占主導(dǎo)地位;130 s后Δf(α)表現(xiàn)相對(duì)穩(wěn)定，說明大概率和小概率顆粒的數(shù)目比相對(duì)穩(wěn)定.圖 3中表現(xiàn)出的分布情況也顯示出150 s、200 s和250 s之間的波峰和波谷比例已相對(duì)穩(wěn)定.

　　在整個(gè)反應(yīng)進(jìn)程中，αmax表現(xiàn)出相對(duì)平穩(wěn)特征，這是由于αmax表示小概率顆粒，體現(xiàn)了最大粒徑顆粒在絮體分布中所占比例始終保持平穩(wěn);而大概率顆粒所代表的αmin呈現(xiàn)出明顯下降趨勢，由1.7降至1.3左右，體現(xiàn)了小顆粒在絮體生長段的聚集過程.Δα在整個(gè)生長段則表現(xiàn)出穩(wěn)步上升的趨勢，由1.0213至1.3659.根據(jù)多重分形理論，Δα=αmax-αmin反映了概率分布范圍的大小，概率分布愈不均勻，相應(yīng)的譜寬會(huì)越大;也就是說，Δα在絮體生長的過程中的增大，說明絮體粒徑范圍在擴(kuò)大，概率分布變得越來越不均勻.從圖 3中也注意到絮體分布的峰寬逐漸增加.具體參見污水寶商城資料或http://www.northcarolinalenders.com更多相關(guān)技術(shù)文檔

　　圖 6所示的是在多重分形譜中f(α)max、α0在絮體生長進(jìn)程中的行進(jìn)趨勢.根據(jù)多重分形理論的性質(zhì)，當(dāng)q=0時(shí)，D0為簡單維數(shù)，此時(shí)對(duì)應(yīng)于f(α) max，與α0一起反映了最或然子集的性質(zhì)，即反映了絮體群的整體幾何特征.結(jié)合表 1的數(shù)據(jù)，由于絮體在生長初期會(huì)經(jīng)過碰撞簡單的結(jié)合在一起，α0在最初的30s內(nèi)處于上升狀態(tài)，從2.0474升至2.0658，這說明絮體群整體的奇異程度在上升;而后處于持續(xù)下降的過程，至絮體生長段末α0降至1.9501，這是因?yàn)樾躞w顆粒數(shù)目迅速減少并且絮體開始團(tuán)聚并相互擠壓，使絮體群的整體奇異性下降，并且由于顆粒數(shù)目的降低和絮體群空間占有率下降，f(α)max伴隨絮體的生長而呈下降態(tài)勢，由1.9995降至1.7762.

　　圖 6 絮體生長f(α) max、α0變化

　　表1 部分絮體照片的多重分形譜參數(shù)

　　5 結(jié)論與展望

　　通過對(duì)在絮凝生長過程中連續(xù)采集的絮體圖片的分析研究發(fā)現(xiàn)，多重分形譜及其特征參數(shù)可以定量描述絮體在成長過程中的絮體形態(tài)和分布的動(dòng)態(tài)變化情況，從而獲取更多的絮體成長信息.當(dāng)小顆粒進(jìn)入到絮凝階段，多重分形譜圖由左勾狀轉(zhuǎn)變?yōu)橛毅^狀，體現(xiàn)了絮體由小顆粒聚集為大顆粒的變化過程.Δα逐漸增大，表現(xiàn)出絮體分布的不均勻程度變化過程;Δf(α)的數(shù)值由負(fù)轉(zhuǎn)正的變化指示了絮體群落中絮體的主導(dǎo)地位變化;簡單分形維數(shù)f(α)max則逐漸下降.

　　絮體形態(tài)和分布特征的變化是絮凝過程中的重要現(xiàn)象，對(duì)其定量化有助于促進(jìn)絮凝動(dòng)力學(xué)研究及絮凝機(jī)理的完善.結(jié)合絮凝劑的反應(yīng)機(jī)理和流體在不同條件下的紊動(dòng)耗散規(guī)律，多重分形分析可揭示絮體的動(dòng)態(tài)絮凝行為特征，為絮凝的過程控制提供重要的參考數(shù)據(jù)，更多相關(guān)內(nèi)容正在進(jìn)一步研究中.